Question

如圖,l₁、l₂是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.

(1)證明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

(1)證明:由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN.

由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影,

∴AC⊥NB.

(2)解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC.又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正△ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH=.