Question

如下圖,l₁、l₂是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段,點(diǎn)A、B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.

(1)證明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

(1)證明:由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,

    可得l₂⊥平面ABN.

    由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,

    可得AN=NB且AN⊥NB.

    又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影,由三垂線定理知AC⊥NB.

(2)解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC.

    又已知∠ACB=60°,

    因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB.

    因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,如下圖,連結(jié)BH,∠NBH即為NB與平面ABC所成的角.

    在Rt△NBH中,CosNBH=.