Question

設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，且

a2+c2-b2

c

=

a2+b2-c2

2a-c

，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，結(jié)合二倍角公式和輔助角公式化簡給定的函數(shù)，得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進行確定單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先結(jié)合余弦定理化簡得到cosB=

bcosC

2a-c

，然后，結(jié)合正弦定理，得到cosB=

1

2

，結(jié)合范圍得到B=

π

3

，然后，根據(jù)有關(guān)角的范圍，從而確定f（A）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）
=2

3

sinxcosx-cos²x+sin²x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
令k=0，得-

π

6

≤x≤

π

3

，
又x∈[0，π]，此時0≤x≤

π

3

；
令k=1，得

5π

6

≤x≤

4π

3

，
又x∈[0，π]，此時

5π

6

≤x≤π．
所以函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間是[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．
（Ⅱ）∵

a2+c2-b2

c

=

a2+b2-c2

2a-c

，
由余弦定理得：

2acosB

c

=

2abcosC

2a-c

．
所以cosB=

bcosC

2a-c

，
即2acosB-ccosB=bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）-sinA，
又∵sinA≠0，故cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

，C=

2π

3

-A＜

π

2

，則A＞

π

6

，
因為△ABC是銳角三角形，
所以

π

6

＜A＜

π

2

，

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
所以f（A）=2sin（2A-

π

6

）的取值范圍是（1，2]．

點評：本題綜合考查了二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦定理和余弦定理等知識，屬于綜合題目．