Question

省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關(guān)系為f（x）=+2a+，x∈R，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈]，若取每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范圍；
（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

【答案】分析：（1）先取倒數(shù)，然后對得到的函數(shù)式的分子分母同除以x，再利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，最后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+．下面分類討論：當(dāng) 0＜a＜，當(dāng) ＞a≥，分別求出函數(shù)g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時，t=0；（2分）
當(dāng)0＜x≤24時，=x+．對于函數(shù)y=x+，∵y′=1-，
∴當(dāng)0＜x＜1時，y′＜0，函數(shù)y=x+單調(diào)遞減，
當(dāng)1＜x≤24時，y′＞0，函數(shù)y=x+單調(diào)遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，]．
（2）當(dāng)a∈（0，]時，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+=
∵g（0）=3a+，g（）=a+，
g（0）-g（）=2a-．
故M（a）==
當(dāng)且僅當(dāng)a≤時，M（a）≤2，
故a∈（0，]時不超標(biāo)，a∈（，]時超標(biāo)．
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類討論的思想，屬于實際應(yīng)用題．