Question

省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調查研究后，發(fā)現一天中環(huán)境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數，且a∈[0，

1

2

]，若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

Answer 1

分析：（1）當x=0時，求得t=0，當0＜x≤24時，把t=

x

x2+1

的分子分母同時除以x后利用基本不等式求解t的取值范圍；
（2）把函數f（x）的解析式中的

x

x2+1

換為t，去絕對值后得到關于t的分段函數，利用每一段內函數的單調性求出每一段內的最大值，然后根據a的范圍寫出M（a）的分段函數解析式，再由每一段的表達式小于等于2求解a的取值范圍，從而答案可求．

解答：解：（1）當x=0時，t=0；
當0＜x≤24時，x+

1

x

≥2（當x=1時取“=”），
∴t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈(0，

1

2

]，即t的取值范圍是[0，

1

2

]．
（2）當a∈[0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，
則g(t)=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調遞減，在（a，

1

2

]上單調遞增，
且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，g（0）-g（

1

2

）=2(a-

1

4

)．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0)， 1 4 ＜a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

當0≤a≤

1

4

時，由a+

7

6

≤2，解得0≤a≤

1

4

；
當

1

4

＜a≤

1

2

時，由3a+

2

3

≤2，解得

1

4

＜a≤

4

9

．
∴當且僅當a≤

4

9

時，M（a）≤2．
故當0≤a≤

4

9

時不超標，當

4

9

＜a≤

1

2

時超標．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了分段函數最值得求法，體現了分類討論的數學數學思想方法和數學轉化思想方法，考查了計算能力，是中檔題．