【題目】已知橢圓：，動直線l與橢圓E交于不同的兩點，，且△AOB的面積為1，其中O為坐標原點.

（1）證明：為定值；

（2）設線段AB的中點為M，求的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為.

【解析】

（1）當直線l的斜率不存在時，設l：x＝m，代入橢圓方程求解，結合△AOB的面積為1求得m值，可得為定值4，當直線l的斜率存在時，設，聯(lián)立橢圓方程，可得A，B橫坐標的和與積，利用弦長公式求弦長，再由點到直線的距離公式求得到直線的距離，結合△AOB的面積為1，可得，則的值可求，從而說明為定值；

（2）設，當直線的斜率不存在時，，，則|；當直線的斜率存在時，由（1）可得M的坐標，求得，寫出，結合轉化為關于的二次函數(shù)求最值.

（1）當直線l的斜率不存在，設l：x＝m

代入橢圓方程，得，即

由△AOB的面積為1，可得，

解得：，則；

當直線l的斜率存在，設，

聯(lián)立，

化簡整理可得，

設，，

可得，，

，

由△AOB的面積為1，可得，

化簡可得，

則

，

而，

綜上可得，為定值4；

（2）設，

當直線的斜率不存在時，，

，則|；

當直線的斜率存在時，由（1）可得，

，

則，

可得

.

∵，∴.

可知.

綜上，的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅收進行適當?shù)臏p免，某機構調(diào)查了當?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：

①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；

②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計有55%的當?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；

③樣本的中位數(shù)為480萬元.

其中正確結論的個數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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【題目】高三年級某班50名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.（說明：數(shù)學滿分150分，物理滿分100分）

分組

頻數(shù)

6

9

20

10

5

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，請估計數(shù)學成績的平均分；

（2）根據(jù)物理成績統(tǒng)計表，請估計物理成績的中位數(shù)；

（3）若數(shù)學成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學總數(shù)為6人，從此6人中隨機抽取3人，記X為抽到兩個“優(yōu)”的學生人數(shù)，求X的分布列和期望值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓的左右焦點，橢圓與軸正半軸交于點，直線的斜率為，且到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓上任意一點，過，分別作直線，，且與相交于軸上方一點，當時，求，兩點間距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx-a．

(1)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（x+1）2，令f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x），若fn（x）=ex（anx2+bnx+cn），記數(shù)列{}的前n項和為Sn，則下列選項中與S2019的值最接近的是( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.

（1）求證：EF//平面ABCD；

（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，左頂點為，過點A作斜率為的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P為的中點，是否存在定點Q，對于任意的都有？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若過點O作直線l的平行線交橢圓C于點M，求的最小值.

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