Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)P為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對于任意的都有？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

（3）若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)條件可直接求出答案

（2）聯(lián)立直線l的方程與橢圓的方程消元，用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得P點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)存在頂點(diǎn)，使得，則，即，然后推出，即可得到答案

（3）首先得出M點(diǎn)橫坐標(biāo)為，然后可得，然后用基本不等式求解即可.

（1）由橢圓的左頂點(diǎn)，則，又，則，

又，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由直線l的方程為，

由，整理得：，

由是方程的根，由韋達(dá)定理可知：，則，

當(dāng)，，

∴，

由P為的中點(diǎn)，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)，

直線l的方程為，令，得，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，

則，即，

，，

∴

即恒成立，

∴，即，

∴頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；

（3）由，則的方程為，

，則M點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

由，可知，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.