Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），若f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，設(shè)g（x）=f（x）-kx
（1）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，用待定系數(shù)法求出f（x）的解析式，從而得g（x）的解析式，結(jié)合g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，知對(duì)稱(chēng)軸在[-2，2]外，求出k的取值范圍．
（2）若g（x）=x²+（2-k）x+1，x∈[1，2]時(shí)，g（x）＜0恒成立，則

g(1)＜0 g(2)＜0

，解得實(shí)數(shù)k的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1（a＞0），
f（-1）=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立；
∴x=-

b

2a

=-1，且a-b+1=0；
即b=2a，且a-b+1=0，
解得a=1．b=2；
∴f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
∵g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴x=

k-2

2

應(yīng)滿(mǎn)足：

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2，
即k≥6，或k≤-2；
∴k的取值范圍是{k|k≤-2，或k≥6}．
（2）若g（x）=x²+（2-k）x+1，x∈[1，2]時(shí)，g（x）＜0恒成立，
則

g(1)＜0 g(2)＜0

，
即

4-k＜0 9-2k＜0

解得：k＞

9

2

，
∴k的取值范圍是{k|k＞

9

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．