Question

在底面邊長為a,側(cè)棱長為2a的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，求：

（1）點(diǎn)B到平面AB₁C的距離；

（2）以B₁C為棱，AB₁C和BB₁C為面所成二面角的正切值.

Answer 1

解析:（1）如圖，設(shè)點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),作BO⊥B₁E于O,

∵AC⊥BE,BB₁⊥平面ABCD,

∴AC⊥平面BB₁E.又BO面BB₁E，

∴AC⊥BO,B₁E∩AC=E.

∴BO⊥平面AB₁C.

∴BO為B到平面AB₁C的距離.

在Rt△B₁BE中,BE=a,BB₁=2a,

∴B₁E=.

由面積關(guān)系得BO=.

（2）由BO⊥平面AB₁C，AF⊥B₁C，

∴BF⊥B₁C.

∴∠BFA是二面角A-B₁C-B的平面角.

在Rt△BB₁C中，BF·B₁C=BB₁·BC,

∴BF=a.∴tan∠BFA=AB∶BF=.

小結(jié)：（2）中作二面角用的方法是較常用的方法，這種方法的步驟是：過二面角的一個面內(nèi)的一點(diǎn)（本例中的點(diǎn)B）向另一個半平面作垂線，再過垂足（本例中的點(diǎn)O）向棱（本例中的B₁C）作垂線（本例中的OF），再連結(jié)BF，則由三垂線定理知∠BFO為二面角AB₁CB的平面角.