一正三棱錐A—BCD,其底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中.(1)求周長(zhǎng)的最小值；(2)求最小周長(zhǎng)時(shí)的截面面積.

(1)周長(zhǎng)的最小值為

(2) S△BMN=


解析:

如圖甲所示，設(shè)截面與AC、AD的交點(diǎn)分別為M、N，將側(cè)棱AB剪開后，將側(cè)面展開鋪平，當(dāng)B′、M′、N′、B在一條直線上時(shí)，截面周長(zhǎng)最短(如圖乙).

(1)在△B′C′M′和△A′M′N′中，∠B′M′C′=∠A′M′N′，由展開圖可知∠A′M′N′=∠A′N′M′，

∴∠A′M′N′=∠A′C′D′=∠A′C′B′.

故有∠B′M′C′=∠M′C′B′，

∴B′M′=B′C′=a，同理N′B=a，

由△A′C′D′—△B′C′M′，

∴C′M′=，∴A′M′=，

∴，即，

∴M′N′=，故B′B=，即周長(zhǎng)的最小值為.

(2)由展開的圖可知周長(zhǎng)最小時(shí)的截面△BMN為等腰三角形，且BM=BN=a，MN=，∴MN上的高

，

∴S△BMN=

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如圖一，在△ABC中，AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，則AB2＝BD·BC(射影定理)．類似有命題：三棱錐A－BCD(圖二)中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內(nèi)，則S2△ABC＝S2△BCO·S2△BCD．上述命題是

[　　]

A．真命題

B．假命題

C．增加“AB⊥AC”的條件才是真命題

D．增加“三棱錐A－BCD是正三棱錐”的條件才是真命題

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在正三棱錐A一BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，且BC＝1，則正三棱錐A一BCD的體積等于（    ）

A．　　　          B．　　　　     C．　　　　     D．

 

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