Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（0＜a＜

5

，0＜b＜2）與橢圓C₂：

x2

5

+

y2

4

=1有相同的焦點(diǎn)．直線L：y=k（x+1）與兩個(gè)橢圓的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A、B、C、D．
（Ⅰ）求線段BC的長（用k和a表示）；
（Ⅱ）是否存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．請(qǐng)說明詳細(xì)的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）聯(lián)立

y=k(x+1) b2x2+a2x2+a2y2=a2b2

，得（k²a²+b²）x²+2k²a²x²+k²a²-a²b²=0，由此能求出線段BC的長．
（Ⅱ）由（I）知，AD=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，線段AB、BC、CD構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，得2BC=AB+CD，故3BC=AD，由此能求出存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立

y=k(x+1) b2x2+a2x2+a2y2=a2b2

，
得（k²a²+b²）x²+2k²a²x²+k²a²-a²b²=0
所以BC=

2ab2(k2+1)

k2a2+b2

=

2a(a2-1)(k2+1)

k2a2+a2-1

．
（Ⅱ）由（I）知，AD=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，
線段AB、BC、CD構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
可得2BC=AB+CD，故3BC=AD，
3•

2a(a2-1)(k2+1)

k2a2+a2-1

=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，
k2=

4(a2-1)(3a- 5 )

a(15a2-4 5 a-15)

=

4(a2-1)(3a- 5 )

a(3a+ 5 )(5a-3 5 )

≥0，
即：

3a- 5

5a-3 5

≥0．
由于a＞1，故

3 5

5

＜a＜

5

．
所以，當(dāng)

3 5

5

＜a＜

5

時(shí)，
存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長的求法，考查滿足條件的線段是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．