Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1．
（1）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將f（x）＞0分離參變量轉(zhuǎn)化為最值問題．
（2）對a進行分類討論即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[1，2]時，ax²-2x+1＞0恒成立，可以化為：a＞-

1

x2

+

2

x

=-(

1

x

-1)2+1 恒成立，又-(

1

x

-1)2+1在x∈[1，2]上的最大值為1，所以a＞1．
（2）當(dāng)a=0時，g（x）=2|2x-1|在[1，2]時上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1-

1

a

|
①若1-

1

a

≥0，

1

a

≤1，即a≥1時，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1-

1

a

|=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

在[1，2]上是增函數(shù)；
②若1-

1

a

＜0，即0＜a＜1時，設(shè)方程f（x）=0的兩根為x₁ x₂且x₁＞x₂，此時g（x）
在[x₁，

1

a

]和[x₂，+∞）上是增函數(shù)，
1°若[1，2]⊆[x₁，

1

a

]，則

1 a ≥2 f(1)=a-1≤0

，解得0＜a≤

1

2

；
 2°若[1，2]⊆[x₂，+∞）則

1 a ＜1 f(1)=a-1≥0

得a＞1，無解；
綜上所述0≤a≤

1

2

或a≥1．

點評：本題以求范圍為載體討論了函數(shù)的恒成立與函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題，難度較大．