Question

在圖1等邊三角形ABC中，AB=2，E是線段AB上的點(diǎn)（除點(diǎn)A外），過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，將△AEF 沿EF折起到△PEF（點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，如圖2），使得∠PFC=

π

3

．
（1）求證：EF⊥PC；
（2）試問，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，二面角P-EB-C的大小是否為定值？若是，求出這個(gè)二面角的平面角的正切值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PFC，再由線面垂直的定義，即可得到EF丄PC；
（2）作PH⊥FC，則PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，連接PG，則BE⊥PG，可得∠PGH是個(gè)二面角的平面角，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F
∴EF⊥平面PFC
又∵PC?平面PFC
∴EF⊥PC；
（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC
作PH⊥FC，則PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，連接PG，則BE⊥PG
∴∠PGH是個(gè)二面角的平面角，
設(shè)AF=x，則0＜x≤1，
∵∠PFC=60°，
∴FH=

x

2

，PH=

3

2

x，
∵GH=

3 3

4

x，
∴tan∠PGH=

PH

GH

=

2

3

，
∴二面角P-EB-C的大小是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．