Question

已知直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t為參數(shù)），曲線C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

 （θ為參數(shù)）．
（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，求C₁與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)α變化時(shí)，求直線C₁與曲線C₂相交所得弦長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：

分析：（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’消去參數(shù)t可得：y=

3

x-

3

，曲線C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

（θ為參數(shù)）．消參得：x²+y²=13，聯(lián)立基礎(chǔ)即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t為參數(shù)），化為y=（x-1）tanα，或x=1，由參數(shù)方程可得直線是過點(diǎn)（1，0）的任意直線，然后由圓的幾何性質(zhì)得：
最長弦是直徑為，垂直于直徑的弦最短即2

r2-d2

，其中d為圓心到直線的距離．

解答： 解：（1）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’消去參數(shù)t可得：y=

3

x-

3

，-------①
曲線C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

（θ為參數(shù)）．消參得：x²+y²=13--------②
聯(lián)立①、②化為2x²-3x-5=0，
解得：

x=-1 y=-2 3

或

x= 5 2 y= 3 3 2

，
所以交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1，-2

3

)，(

5

2

，

3 3

2

)．
（2）直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t為參數(shù)），化為y=（x-1）tanα，或x=1，
由參數(shù)方程可得直線是過點(diǎn)（1，0）的任意直線，然后由圓的幾何性質(zhì)得：
最長弦是直徑為2

13

，垂直于直徑的弦最短即2

13-( 3 2 )2

=7．
∴直線C₁與曲線C₂相交所得弦長的取值范圍是[7，2

13

]．

點(diǎn)評：本題考查了把參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線的交點(diǎn)、直線與圓的相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．