Question

過原點(diǎn)的直線與圓x²+y²-6x+5=0相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的特殊性，設(shè)圓心為C，則有CM⊥AB，當(dāng)斜率存在時(shí)，k_CMk_AB=-1，斜率不存在時(shí)加以驗(yàn)證．

解答：解：設(shè)圓x²+y²-6x+5=0的圓心為C，則C的坐標(biāo)是（3，0），由題意，CM⊥AB，
①當(dāng)直線CM與AB的斜率都存在時(shí)，即x≠3，x≠0時(shí)，則有k_CMk_AB=-1，
∴

y

x-3

×

y

x

=-1（x≠3，x≠0），
化簡(jiǎn)得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②當(dāng)x=3時(shí)，y=0，點(diǎn)（3，0）適合題意，
③當(dāng)x=0時(shí)，y=0，點(diǎn)（0，0）不適合題意，
解方程組

x2+y2-3x=0 x2+y2-6x+5=0

得x=

5

3

，y=±

2

3

5

，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²-3x=0（

5

3

＜x≤3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查軌跡方程的求解，應(yīng)注意利用圓的特殊性，同時(shí)注意所求軌跡的純粹性，避免增解．