Question

19. 設a>0，求函數f（x）＝－ln（x+a）（x（0，+））的單調區(qū)間.

Answer 1

19.解：（x）=－（x>0）.                                

當a>0，x>0時

（x）>0x²+（2a－4）x+a²>0，

（x）<0x²+（2a－4）x+a²<0.

（ⅰ）當a>1時，對所有x>0，有

x²+（2a－4）x+a²>0，

即（x）>0，此時f（x）在（0，+）內單調遞增.                

（ⅱ）當a=1時，對x≠1，有

x²+（2a－4）x+a²>0，

即（x）>0，此時f（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+）內單調遞增.

又知函數f（x）在x=1處連續(xù)，因此，函數f（x）在（0，+）內單調遞增.  

（ⅲ）當0<a<1時，令（x）>0，即x²+（2a－4）x+a²>0，

解得x<2－a－2，或x>2－a+2.

因此，函數f（x）在區(qū)間（0，2－a－2）內單調遞增，在區(qū)間

（2－a+2，+）內也單調遞增.                                         

令（x）<0，即x²+（2a－4）x+a²<0，

解得2－a－2<x<2－a+2.

因此，函數f（x）在區(qū)間（2－a－2，2－a+2）內單調遞減.