Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（I）設(shè)a=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）在（I）的條件下，若函數(shù)g(x)=

1

3

x3+x2f′(x)+m]（其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，最后由極值定義求得函數(shù)極值
（II）構(gòu)造新函數(shù)g（x），把在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，即函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，3）不能恒為正或恒為負(fù)，從而轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)列出不等式，最后解不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），f′(x)=

-1

x

+2，…（2分）
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞）    …（4分），
∴f（x）的極小值是f(

1

2

)=-ln

1

2

+2×

1

2

+3=ln2+4．…（6分）
（Ⅱ）g(x)=

1

3

x3+x2(-

1

x

+2+m)，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
且g′（0）=-1，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

 …（10分）
∴

4+2m＜0 20+6m＞0

 即：-

10

3

＜m＜-2．
故m的取值范圍(-

10

3

，-2)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性、極值，以及導(dǎo)數(shù)在其中的應(yīng)用，由不等式恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題求解參數(shù)的取值范圍的方法