Question

19.設(shè)a>0，求函數(shù)f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

19. f′（x）=（x>0）.

當a>0，x>0時，f′（x）>0x²+（2a－4）x+a²>0，

f′（x）<0x²+（2a－4）x+a²<0.

 

（i）當a>1時，對所有x>0，有x²+（2a－4）x+a²>0，

即f′（x）>0，此時f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

 

（ii）當a=1時，對x≠1，有x²+（2a－4）x+a²>0，

即f′（x）>0，此時f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

又知函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

 

（iii）當0<a<1時，令f′（x）>0，即x²+（2a－4）x+a²>0，

解得x<2－a－2，或x>2－a+2.

因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2－a－2）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（2－a+2，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增.

令f′（x）<0，即x²+（2a－4）x+a²<0，解得2－a－2<x<2－a+2.

 

因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2－a－2，2－a+2）內(nèi)單調(diào)遞減.