【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.

(I)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;

(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】見解析; .

【解析】試題分析:本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.第一問,利用線面平行的定理,先證明線線平行,再證明線面平行;第二問,可以先找到線面角,再在三角形中解出正弦值,還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.

試題解析:()在梯形ABCD中,ABCD不平行.

延長AB,DC,相交于點(diǎn)MM∈平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:

由已知,BC∥ED,且BC=ED.

所以四邊形BCDE是平行四邊形.

從而CM∥EB.

EB平面PBE,CM平面PBE,

所以CM∥平面PBE.

(說明:延長AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))

)方法一:

由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,

所以CD⊥平面PAD.

從而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.

過點(diǎn)AAH⊥CE,交CE的延長線于點(diǎn)H,連接PH.

易知PA⊥平面ABCD,

從而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

AAQ⊥PHQ,則AQ⊥平面PCE.

所以APHPA與平面PCE所成的角.

Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,

所以AH=.

Rt△PAH中,PH==,

所以sinAPH==.

方法二:

由已知,CD⊥PACD⊥AD,PAAD=A,

所以CD⊥平面PAD.

于是CD⊥PD.

從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.

設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.

Ay⊥AD,以A為原點(diǎn),以,的方向分別為x軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A-xyz,則A0,0,0),P0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),

所以=1,0,-2),=1,1,0),=0,0,2

設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),

設(shè)x=2,解得n=(2,-2,1).

設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α,則sinα==.

所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)p:A={x|2x2﹣3ax+a2<0},q:B={x|x2+3x﹣10≤0}.
(1)求A;
(2)當(dāng)a<0時(shí),若¬p是¬q的必要不充分條件,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,某幾何體的三視圖都是直角三角形,則該幾何體的體積等于__________

【答案】10

【解析】幾何體為三棱錐,(高為4,底面為直角三角形),體積為

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.

型】填空
結(jié)束】
15

【題目】如圖:在三棱錐中,已知底面是以為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)棱長,則三棱錐的外接球的表面積等于__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),其中

(1)求的解析式;

(2)解關(guān)于的不等式結(jié)果用集合或區(qū)間表示

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4﹣1:幾何證明選講
如圖,⊙O和⊙O′相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點(diǎn),連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明:

(1)ACBD=ADAB;
(2)AC=AE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義非零向量的“相伴函數(shù)”為),向量稱為函數(shù)的“相伴向量”(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為.

(1)已知),求證:,并求函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍;

(2)已知點(diǎn))滿足,向量的 “相伴函數(shù)”處取得最大值,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別是邊BCCD上的點(diǎn),且,則下列說法正確的是________.(填寫所有正確說法的序號(hào))

EFGH平行; ②EFGH異面;

EFGH的交點(diǎn)M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上;

EFGH的交點(diǎn)M一定在直線AC上.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知函數(shù)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a為正實(shí)數(shù),且為常數(shù))
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知x∈(0, ),則函數(shù)f(x)=sinxtanx+cosxcotx的值域?yàn)椋?/span>
A.[1,2)
B.[ ,+∞)
C.(1, ]
D.[1,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案