Question

【題目】(2015·湖北）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產兩種奶制品．生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元．要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍，設備每天生產兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為

（Ⅰ）求Z的分布列和均值；該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量．
（Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）Z的分布列為：

X	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

；（Ⅱ）0.973.
【解析】設每天兩種產品的生產數(shù)量分別為,相應的獲利為Z,
則有

目標函數(shù)為.當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為。將變形為，當時，直線:在軸上的截距最大，最大獲利.當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為.將變形為，當時，直線在軸上的截距最大，最大獲利.當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為.將變形為，當時，直線:在軸上的截距最大，最大獲利.故最大獲利Z的分布列為

X	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

因此，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率,有二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為.
二項分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一個考點.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．