如圖，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB與平面ABCD所成的角為30°，PB與平面PCD所成的角為45°，求：
（1）PB與CD所成角的大��；
（2）二面角C-PB-D的大�。�
分析：（1）以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出PB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到PB與CD所成角的大��；
（2）分別求出平面PBC與平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C-PB-D的大�。�
解答：（本小題滿(mǎn)分12分）
解：根據(jù)題意，可知PD=CD=1，BC=
2
，以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP方向，分別作x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系：
則C（0，1，0），B（
2
，1，0），P（0，0，1）．
（1）
DC
=（0，1，0），
PB
=（
2
，1，-1），cos＜
DC
，
PB
＞=
DC
•
PB
|
DC
|•|
PB
|
=
1
2
，
即PB與CD所成的角為60°；
（2）由
PC
=（0，1，-1），
設(shè)
m
=（x，y，z）是平面PBC的一個(gè)法向量，則
m
•
PC
=0，
m
•
PB
=0得y=z，x=0令y=z=1得
m
=（0，1，1）．
同理可求得平面PBD的一個(gè)法向量為
n
=（1，-
2
，0），cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
3
3
，
因?yàn)槎娼荂-PB-D為銳二面角，于是二面角C-PB-D為arccos
3
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線(xiàn)及其所成的角，二面角的平面角及其求法，其中建立空間坐標(biāo)系將線(xiàn)線(xiàn)夾角及面面夾角問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．解答中易忽略二面角C-PB-D為銳二面角，而錯(cuò)解為二面角C-PB-D為arccos（-
3
3
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，CG⊥面ABCD，CG=a．
（1）求證：BD∥EFG；
（2）求點(diǎn)B到面GEF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知ABCD是底角為30°的等腰梯形，AD=2
3
，BC=4
3
，取兩腰中點(diǎn)M、N分別交對(duì)角線(xiàn)BD、AC于G、H，則
AG
•
AC
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且直線(xiàn)BE與平面ACE所成角的正弦值為
3
2
10
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直線(xiàn)EC與平面BCF所成的角；
（Ⅲ）問(wèn)在EF上是否存在一點(diǎn)M，使三棱錐M-ACF是正三棱錐？若存在，試確定M點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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