Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）記，求函數y=g（x）的單調區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，當k=2時，若函數y=g（x）的圖象在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數為奇函數求出b，然后根據函數f（x）在x=1取得極大值2，建立a與c的方程組，解之即可求出函數y=f（x）的解析式
（2）先求函數的定義域，討論k與-1的大小，然后利用導數的符號確定函數的單調性即可．
（3）令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，求出函數的導數即可．
解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得極大值2．
∴
解得a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴
因為函數定義域為（0，+∞），所以
①當，k=-1時，g'（x）=-2x＜0，函數在（0，+∞）上單調遞減；
②當k＜-1時，k+1＜0，
∵x＞0，
∴．可得函數在（0，+∞）上單調遞減；
③k＞-1時，k+1＞0，令g'（x）＞0，得，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得，結合x＞0，得；
令g'（x）＜0，得，同上得2x²＞（k+1），解得，
∴k＞-1時，單調遞增區(qū)間為（0，），單調遞增區(qū)間為（，+∞）
綜上，當k≤-1時，函數的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調遞增區(qū)間；
當k＞-1時，函數的單調遞增區(qū)間為（0，），單調遞減區(qū)間為（，+∞）（包含不扣分）
（3）當k=2時，g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，（11分）
，
令h′（x）=0，，得x=1，（舍去）．
由函數y=h（x）定義域為（0，+∞），則當0＜x＜1時，h'（x）＞0，
當x＞1時h'（x）＜0，
∴當x=1時，函數h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．
點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及利用導數研究函數的單調性，考查了分類討論的數學思想，是高考中�？嫉念}型，屬于中檔題．