Question

某海島上有一座海拔1千米的山，山頂上有一觀察站P（P在海平面上的射影點(diǎn)為A），測(cè)得一游艇在海島南偏西30°，俯角為45°的B處，該游艇準(zhǔn)備前往海島正東方向，俯角為45°的旅游景點(diǎn)C處，如圖所示．
（Ⅰ）設(shè)游艇從B處直線航行到C處時(shí)，距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處．
（i）求證：BC⊥平面PAD；（ii）計(jì)算B、D兩點(diǎn)間的距離．
（Ⅱ）海水退潮后，在（Ⅰ）中的點(diǎn)D處周圍0.25千米內(nèi)有暗礁，航道變窄，為了有序參觀景點(diǎn)，要求游艇從B處直線航行到A的正東方向某點(diǎn)E處后，再沿正東方向繼續(xù)駛向C處．為使游艇不會(huì)觸礁，試求AE的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）（i）連結(jié)PD，AD，由已知結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得PD⊥BC，PA⊥BC，再由線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAD；
（ii）解直角三角形，求出AB=1，AC=1，且∠BAC=120°，則∠ABC=∠ACB=30°，結(jié)合BC⊥AD，可得D為BC的中點(diǎn)，且BD=

3

2

；
（Ⅱ）由題意過(guò)點(diǎn)B作圓D的切線，交AC于E，切點(diǎn)為G，則AE取得最大值，設(shè)AE=x，連結(jié)DG，則DG⊥BE，結(jié)合余弦定理構(gòu)造方程，可得AE的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）（i）連結(jié)PD，AD，
∵游艇距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處，
∴PD⊥BC，
又由題意得：PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵PD∩PA=P，PA，PD?平面PAD，
∴BC⊥平面PAD；
（ii）∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
又∵∠PBA=45°，PA=1，
∴AB=1，
同理AC=1，且∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
又BC⊥AD，
∴D為BC的中點(diǎn)，且BD=

3

2

；

（Ⅱ）由題意過(guò)點(diǎn)B作圓D的切線，交AC于E，切點(diǎn)為G，
則AE取得最大值，
設(shè)AE=x，則CE=1-x，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，
則EF=

1

2

（1-x），
連結(jié)DG，則DG⊥BE，
∴Rt△BGD∽R(shí)t△BFE，
∴DG：EF=BD：BE，
∴BE=

3

（1-x），
在△ABE中，BE2=AB2+AE2-

1

2

AB•AE•cos∠BAC，
即3（1-x）²=1+x²+x，
解得：x=

7+ 33

4

，或x=

7- 33

4

，
又由0＜x＜1，
∴x=

7- 33

4

，
即AE的最大值為

7- 33

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何、平面幾何、解析幾何等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面垂直的判定，空間兩點(diǎn)之間距離，余弦定理，是解三角形與空間立體幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．