Question

知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3；
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=

1

log3an•log3an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件能推導(dǎo)出2a_n=3a_n-3a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由an=3n，知b_n=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=3a_n-3，
∴2S_n-1=3a_n-1-3，n≥2
兩式相減，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，n≥2，
∴{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，
∵2S₁=3a₁-3，
∴a₁=3，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）∵an=3n，
∴b_n=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意迭代法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用，是中檔題．