Question

前不久，省社科院發(fā)布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖市成為本年度安徽最“幸福城”．隨后，師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）：
（Ⅰ）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸�！保�求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；
（Ⅲ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)所給的莖葉圖看出16個(gè)數(shù)據(jù)，找出眾數(shù)和中位數(shù)，中位數(shù)需要按照從小到大的順序排列得到結(jié)論．
（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，至多有1人是“極幸福”包括有一個(gè)人是極幸福和有零個(gè)人是極幸福，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（3）由于從該社區(qū)任選3人，記ξ表示抽到“極幸�！睂W(xué)生的人數(shù)，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，算出概率，寫出分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75；                                      
（Ⅱ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸�！保�至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，則P(A)=P(A0)+P(A1)=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

；                      
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=(

3

4

)3=

27

64

；P(ξ=1)=

C

1 3

1

4

(

3

4

)2=

27

64

；
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

4

)2

3

4

=

9

64

；P(ξ=3)=(

1

4

)3=

1

64

．
則ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

所以Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=0.75．
另解：ξ的可能取值為0，1，2，3．
則ξ～B（3，

1

4

），P(ξ=k)=

C

k 3

(

1

4

)k(

3

4

)3-k．所以Eξ=3×

1

4

=0.75．

點(diǎn)評：本題是一個(gè)統(tǒng)計(jì)綜合題，對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題，考查最基本的知識點(diǎn)．