Question

一束光線通過點(diǎn)射到x軸上，再反射到圓C：（x-1）²+（y+4）²=8上，求反射點(diǎn)在x軸上的橫坐標(biāo)的活動范圍（ ）
A．（0，1 ）
B．（1-2，0）
C．[1-2，1]
D．（1，2-1）

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)反射光線的斜率存在時，設(shè)其方程為：kx-y-k+2k+2=0，當(dāng)反射光線與圓相切時為反射點(diǎn)的最大范圍，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的值，再檢驗斜率不存在時直線也與圓相切，進(jìn)而得到答案．
解答：解：由題意可得：M點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M′（1-2，2），因為反射光線的反向延長線經(jīng)過M′（1-2，2），
當(dāng)反射光線的斜率存在時，設(shè)其方程為：y-2=k（x-1+2 ），
整理可得 kx-y-k+2k+2=0，
當(dāng)反射光線與圓相切時，圓心（1，-4）到反射光線的距離等于半徑，即d=2=，解得 k=-1．
此時反射光線的方程為x+y-1=0，所以反射點(diǎn)為（1，0）．
當(dāng)斜率不存在時，反射光線所在的直線的方程為 x=1-2，經(jīng)檢驗也與圓相切，此時，反射點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-2，0）．
綜上可得，反射點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[1-2，1]，
故選C．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，以及直線方程的一般式與兩點(diǎn)式，考查點(diǎn)到直線的距離公式等知識點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．