Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖及它的三視圖（其中主視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，左視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，（1分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，（3分）
∴V_P-ABCD=PA•S_ABCD=×4×4×4=．（4分）
（Ⅱ）由三視圖可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B為原點，以BC，BA，BE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），P（），D（4，4，0）C（0，4，0）．（5分）
所以．設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z），即，取．（8分）
設(shè)平面PCE的法向量為，同理可求．（10分）．所以二面角E-PC-D的大小為π-arccos（）．（12分）
分析：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，求出底面面積和高，即可求出幾何體的體積．
（Ⅱ）由三視圖可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B為原點，以BC，BA，BE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
求出平面PCD的法向量為=（x，y，z），平面PCE的法向量為，利用，求出二面角E-PC-D的大�。�
點評：本題是中檔題，考查三視圖的知識，幾何體的體積的求法，二面角的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力的應(yīng)用．