Question

如圖所示是一個(gè)幾何體的直觀圖及它的三視圖（其中主視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，左視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，求出底面面積和高，即可求出幾何體的體積．
（Ⅱ）由三視圖可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
求出平面PCD的法向量為

n1

=（x，y，z），平面PCE的法向量為

n2

，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

，求出二面角E-PC-D的大小．

解答：解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，（1分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，（3分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PA•S_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．（4分）
（Ⅱ）由三視圖可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），P（0，0，4

2

），D（4，4，0）C（0，4，0）．（5分）
所以

PD

=(4，0，-4

2

)，

CD

=(0，4，0)．設(shè)平面PCD的法向量為

n1

=（x，y，z）

n1 • PD =0 n1 • CD =0

，即

4x-4 2 z=0 4y=0

，取

n1

=(

2

，0，1)．（8分）
設(shè)平面PCE的法向量為

n2

，同理可求

n2

=(1，-1，

2

)．（10分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

6

3

．所以二面角E-PC-D的大小為π-arccos（

6

3

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三視圖的知識(shí)，幾何體的體積的求法，二面角的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力的應(yīng)用．