Question

已知數(shù)列{a_n}中，，．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中遞推公式，及公式，代入a₁，容易求出a₂，a₃．
（2）由，容易猜想：，需要用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由變形為：，由sinx≤x得：；
所以數(shù)列：=，前n項(xiàng)和．即證．
解答：解：
1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213952793602717/SYS201310232139527936027020_DA/12.png">，由遞推公式和公式
得：
．
2）由（1）可歸納猜想：，
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②假設(shè)n=k（k∈N*）時成立，即，
則：n=k+1時：=；
所以，n=k+1時，猜想也成立．
故：由①②可知，對任意n∈N*，猜想均成立．
3）證明：設(shè)f（x）=x-sinx，
則f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx在上是增函數(shù)．
∴f（x）≥f（0）=0，即sinx≤x．
又∵，
∴，
∴=．即證．
點(diǎn)評：本題（1），（2）小題考查數(shù)列的遞推公式，半角公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．（3）小題函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列的求和，放縮法，綜合性大．作為高考中的大題有很好的區(qū)分度．