Question

11．已知點(diǎn)F（c，0）（c＞0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)，F(xiàn)關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x的對(duì)稱點(diǎn)A也在該橢圓上，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+2
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． -$\sqrt{3}$+1
• D． -$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 求出F（c，0）關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得離心率．

解答 解：設(shè)F（c，0）關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x的對(duì)稱點(diǎn)A（x₁，y₁），
則$\frac{{y}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+c）①，且$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$②．
聯(lián)立①②解得：x₁=-$\frac{1}{2}$c，y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，即A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得：$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3{c}^{2}}{4}}{^{2}}$=1．
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
化簡(jiǎn)可得e⁴-8e²+4=0，
解得：e=$\sqrt{3}$-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱知識(shí)以及計(jì)算能力，是中檔題．