【題目】已知多面體如圖所示.其中為矩形， 為等腰直角三角形， ，四邊形為梯形，且， ， .

（1）若為線段的中點，求證： 平面.

（2）線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的余弦值等于？若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）因為， ，得平面，

得平面，以為原點， 分別為軸， 軸， 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系求得平面的一個法向量，進而證得平面.

（2）由，求得平面的法向量，假設線段上存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值等于，設，則， ，利用向量的運算可解得，即可得到結論。

試題解析：

（1）因為， ， ，故平面，

故平面，以為原點， 分別為軸， 軸， 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ， ，所以，易知平面的一個法向量，所以，所以，又平面，所以平面.

（2）當點與點重合時，直線與平面所成角的余弦值等于.理由如下：

直線與平面所成角的余弦值為，即直線與平面所成角的正弦值為，因為，設平面的法向量為，

由，得，取得平面的一個法向量

假設線段上存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值等于，

設，則， ，

所以，

所以，解得或（舍去）

因此，線段上存在一點，當點與點重合時，直線與平面所成角的余弦值為.

練習冊系列答案
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附： ，

0．10

0．05

0．025

0．010

2．706

3．841

5．024

6．635

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