Question

從正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有頂點中任取兩點連成直線，要求所得直線與AC₁垂直，則這樣的直線共有

6

條．

Answer 1

分析：連接AC，則BD⊥AC．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由C₁C⊥平面BCD，BD?平面BCD，知C₁C⊥BD，由此能證明AC₁⊥BD．同樣地可以證明這樣的直線共有 6條．

解答：證明：如圖，連接AC，則BD⊥AC．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵C₁C⊥平面BCD，
BD?平面BCD，
∴C₁C⊥BD，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
同樣A₁B，A₁D，B₁D₁，B₁D，C₁D都與AC₁垂直．
故答案為：6

點評：本題考查棱柱的結構特征，是中檔題．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地化空間問題為平面問題．