Question

【題目】2015年7月9日21時15分，臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失，適逢暑假，小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承�區(qū)的100戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成， ， ， ， 五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：

（Ⅰ）臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？

（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4000元的人數(shù)為. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差.

附：臨界值表

	0.10	0.05	0.025
	2.706	3.841	5.024

隨機量變

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意寫出列聯(lián)表，計算可得，所以有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)．

(2)題中所給的分布列為二項分布，據(jù)此求得分布列，然后計算可得， .

試題解析：

（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有70人，經(jīng)濟損失超過4000元的有30人，則表格數(shù)據(jù)如下

	經(jīng)濟損失不超過 4000元	經(jīng)濟損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	60	20	80
捐款不超 過500元	10	10	20
合計	70	30	100

.

因為， .

所以有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率.

由題意知的取值可能有，

，

，

，

，

，

從而的分布列為

，