Question

【題目】今年入秋以來, 某市多有霧霾天氣, 空氣污染較為嚴(yán)重.市環(huán)保研究所對近期每天的空氣污染情況進(jìn)行調(diào)査研究后發(fā)現(xiàn)，每一天中空氣污染指數(shù)與時刻(時)的函數(shù)關(guān)系為:,其中為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且.

（1）若,求一天中哪個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低；

（2）規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過,則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）時，，此時，故點(diǎn)時空氣污染指數(shù)最低；（2）設(shè)，換元后設(shè)，即，根據(jù)的單調(diào)性求得的最大值，由此求得調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).

試題解析：

（1） 因為,則.當(dāng)時，,得，即.所以一天中晩上點(diǎn)該市的空氣污染指數(shù)最低.

（2）設(shè)，則當(dāng)時，.設(shè),則,顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則,因為,由,得.

所以, 當(dāng)時，,符合要求; 當(dāng)時，由

, 得.故調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).