Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足：2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公a_n
（2）若記，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

解：（1）∵2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0
∴2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0
即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0
兩邊同時(shí)除以S_nS_n+1可得，
從而可得，，
∴以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，=3ⁿ
∴
當(dāng)n≥2時(shí)，
a₁=1不適合上式
故
（2）由（1）知，=（2n+1）•3ⁿ
∴T_n=3•3¹+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ
∴3T_n=3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-2T_n=9+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
整理可得，T_n=n•3ⁿ⁺¹
分析：（1）由2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，可得2S_n+1+S_n+1-S_n+4S_n+1S_n=0即3S_n+1-S_n+4S_nS_n+1=0變形可得，，從而可得為等比數(shù)列，可求S_n，利用可求a_n
（2）由（1）知，=（2n+1）•3ⁿ，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，二乘公比錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列部分的重要方法，要注意掌握．