Question

在數(shù)列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=  (n∈N*).
(Ⅰ)求a_2, a_3,  a_4;
(Ⅱ)猜想a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
(Ⅲ)若數(shù)列b_n= ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n。

Answer 1

（Ⅰ）∴a₂=  = ,a₃ =  = ,a₄ ==.(Ⅱ)略
（Ⅲ）s_n=b₁+b₂+…+b_n=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=

本試題主要是考查了運(yùn)用遞推關(guān)系求解數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)分析得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)列的歸納猜想思想，和數(shù)學(xué)歸納法的得到證明，并對于新數(shù)列求解和的問題。
（1）首先由a₁=1,a_n+1=,，對n賦值依次得到第二項(xiàng)和第三項(xiàng)以及第四項(xiàng)。
（2）歸納猜想其通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，
（3）由（Ⅱ）知：b_n===2[-]，然后裂項(xiàng)求和得到結(jié)論。