Question

設(shè)數(shù)列{_n}滿足₁＝，_n＋1＝_n²＋₁，．
(Ⅰ)當∈(－∞,－2)時，求證：M；
(Ⅱ)當∈(0,］時，求證：∈M；
(Ⅲ)當∈(,＋∞)時，判斷元素與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

見解析

(I)如果，則，．(2)易采用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（3）本小題難度偏大，一般學(xué)生解決不了，可以放棄，放棄也是一種勇氣，也是一種能力.
本小題的思路是對于任意，，且．
對于任意，，
則．所以，．進行到此，問題基本得以解決
證明：（1）如果，則，． ……………2分
（2） 當 時，（）．
事實上，當時，． 設(shè)時成立（為某整數(shù)），
則對，．
由歸納假設(shè)，對任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．…………………6分
（3） 當時，．證明如下：
對于任意，，且．
對于任意，，
則．所以，．
當時，，即，因此