Question

己知{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂=3，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：
（1）原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（2）新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？

Answer 1

分析：（1）由題意可求出兩數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得原數(shù)列的第12項(xiàng)即可知道是新數(shù)列的第幾項(xiàng)；（2）同樣，只要由通項(xiàng)公式求出新數(shù)列的第29項(xiàng)也可求得是原數(shù)列的第幾項(xiàng)．

解答：解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂=3，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，
使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，不妨記為{b_n}
則等差數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，3為第五項(xiàng)的數(shù)列，設(shè){a_n}的公差為d，
設(shè){b_n}公差為d′，則2+d=3，2+4d′=3，解得d=1，d′=

1

4

，
故原等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為：a_n=2+1×（n-1）=n+1
新等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為：bn=2+

1

4

(n-1)=

n+7

4

，
故原數(shù)列的第12項(xiàng)為a₁₂=13，令b_n=13，解得n=45，
故原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng)．
（2）由（1）知新數(shù)列的第29項(xiàng)b29=

29+7

4

=9，
令a_n=9解得n=8，故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題為等差數(shù)列的考查，熟練運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．