【題目】已知無窮數(shù)列的各項均為正數(shù),其前項和為, .

(1)如果,且對于一切正整數(shù),均有,求;

(2)如果對于一切正整數(shù),均有,求;

(3)如果對于一切正整數(shù),均有,證明: 能被8整除.

【答案】(1) ;(2) (3) 見解析.

【解析】試題分析:1,得,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到通項;2)推導(dǎo)出an+1an1=1a1=4,由anan+1=Sn,得a2=1,a3=5a4=3,由此根據(jù)n為偶數(shù)和n為奇數(shù),能求出Sn的值;(3)推導(dǎo)出,分別求出前4項的值,利用數(shù)學(xué)歸納法能證明a3n1能被8整除.

解析

(1) 數(shù)列的各項均為正數(shù),由,得,

數(shù)列是等比數(shù)列,公比,從而

(2) ,兩式相減得

此數(shù)列各均為正數(shù), , 數(shù)列和數(shù)列均是公差為1的等差數(shù)列.由,得

當(dāng)為偶數(shù)時,

當(dāng)為奇數(shù)時,

(3) ,兩式相減得.

,得,

以下證明:對于 被8除余數(shù)為4, 被8整除, 被8除余數(shù)為4.

當(dāng)時, , ,命題正確.

假設(shè)時,命題正確,即, 其中,

那么, , 為正整數(shù), 被8除余數(shù)為4.

為正整數(shù), 能被8整除.

為正整數(shù), 被8除余數(shù)為4.

時,命題也正確.

從而證得,對于一切正整數(shù), 能被8整除.

練習(xí)冊系列答案
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