Question

若（

1

3 x

-

x

）ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中的有理項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由條件求得n=7，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為有理數(shù)，求出r的值，可得展開式中的有理項(xiàng)．

解答： 解：∵（

1

3 x

-

x

）ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2^n-1=64，∴n=7．
∴（

1

3 x

-

x

）ⁿ=（

1

3 x

-

x

）⁷開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x

5r

6

-

7

3

，
令

5r

6

-

7

3

為有理數(shù)，可得5r-14為6的倍數(shù)，∴r=4，
∴展開式中的有理項(xiàng)是

C

4 7

x=35x，
故答案為：35x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．