Question

【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.

（1）證明：；

（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）由平面平面可得面，從而可得；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到結(jié)果.

（1）依題意，面面，，

∵面，面面，

∴面.

又面，

∴.

（2）解法一：向量法

在中，取中點(diǎn)，∵，

∴，∴面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，∵，∴，

∴，，，，，

∴，，.

設(shè)面法向量為，

則，解得.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，

則，

因?yàn)?/span>，∴.

所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.

（2）解法二：幾何法

過(guò)作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，

過(guò)作的平行線(xiàn)，過(guò)作的平行線(xiàn)，交點(diǎn)為，連結(jié)，

過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)，

連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，

四邊形為矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以為線(xiàn)與面所成的角.

令，則，，，

由同一個(gè)三角形面積相等可得，

為直角三角形，由勾股定理可得，

所以，

又因?yàn)?/span>為銳角，所以，

所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.