Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示．
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由平面ABD⊥平面BDC，交線為BD，AE⊥BD于F，AE?平面ABD，能證明AE⊥平面BCD．
（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF，ED，EA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCD的法向量和平面ADC的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵平面ABD⊥平面BDC，交線為BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于F，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）得AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由題意得EF⊥BD，又AE⊥BD，
如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以EF，ED，EA所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=BD=DC=AD=2，則BE=ED=1，
由圖1條件計(jì)算得AE=

3

，BC=2

3

，EF=

3

3

，
則E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，

3

），
F（

3

3

，0，0），C（

3

，2，0），

DC

=（

3

，1，0），

AD

=（0，1，-

3

），
由AE⊥平面BCD，得平面BCD的法向量為

EA

=（0，0，

3

），
設(shè)平面ADC的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DC = 3 x+y=0 n • AD =y- 3 z=0

，取z=1，得

n

=（-1，

3

，1），
∴cos＜

n

，

EA

＞=

EA • n

| EA |•| n |

=

5

5

，
∴二面角A-DC-B的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系與性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．