Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，sinx-2cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)0≤x≤

π

2

，①若

a

⊥

b

，求x；②求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）①由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，利用0≤x≤

π

2

，即可解出．
②f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，由0≤x≤

π

2

，可得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）
=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-（1+cos2x）
=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
由2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，可得f（x）單調(diào)增區(qū)間為(kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

)，k∈Z，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，單調(diào)減區(qū)間為(kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

)，k∈Z．
（2）①∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=

2

sin(2x-

π

4

)-1=0，
即sin(2x-

π

4

)=

2

2

．
∵0≤x≤

π

2

，
∴x=

π

4

或x=

π

2

．
②f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

．
當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值-2，
當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，f（x）取得最大值

2

-1，
∴f（x）的值域?yàn)?span id="77lnr5d" class="MathJye">[-2，

2

-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．