【題目】已知橢圓C(a>b>0)的左.右頂點分別為A,B,離心率為,點P為橢圓上一點.

(1) 求橢圓C的標準方程;

(2) 如圖,過點C(01)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點,記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k12k2,求直線l斜率的值.

【答案】(1)1(2) k

【解析】

(1)根據(jù)已知條件,建立方程組,求出a,b,即可得到橢圓的標準方程.

(2)設出直線l方程為ykx1,M(x1,y1),N(x2,y2),將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,求出x1x2x1x2,根據(jù)條件求出k1k2,代入k12k2化簡計算,得到關(guān)于k的方程,解方程求出k的值.

(1)因為橢圓的離心率為,所以a2c.

又因為a2b2c2,所以bc.

所以橢圓的標準方程為1.

又因為點P為橢圓上一點,所以1,解得c1.

所以橢圓的標準方程為1.

2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在,設其方程為ykx1.

M(x1,y1)N(x2,y2)

聯(lián)立直線與橢圓的方程組,消去y可得(34k2)x28kx80.

所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1x2=-,x1x2=-.

因為k1,k2,且k12k2,所以.

,①

又因為M(x1,y1),N(x2y2)在橢圓上,

所以.②

將②代入①可得:,即3x1x210(x1x2)120.

所以310120,即12k220k30.

解得kk,又因為k>1,所以k.

練習冊系列答案
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