Question

【題目】已知函數，如果存在給定的實數對，使得恒成立，則稱為“函數”．

(1) 判斷函數是否是“函數”；

(2) 若是一個“函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

(3) 若定義域為R的函數是“函數”，且存在滿足條件的有序實數對(0,1)和(1,4)，當x[0,1]時，的值域為[1,2]，求當x[2016,2016]時函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）函數不是“函數”，函數是“函數”；

（2）；

（3）.

【解析】

(1) 根據題意,結合,代入即可檢驗是否滿足條件.

(2) 根據定義,代入可得關于的方程.解方程即可求得滿足條件的有序實數對.

(3) 將所給的數對代入,可得函數的周期.根據歸納推理可得函數的值域.

(1) 若是“函數”,則存在常數,使得

即時,對恒成立．而最多有兩個解,矛盾

因此不是“函數”

若是“函數”,則存在常數使得

即存在常數對滿足條件．因此是“函數”；

(2) 是一個“函數”,有序實數對滿足恒成立,

當時,,不是常數

∴

當時,有恒成立

即恒成立．

則,

當,時,成立．

因此滿足是一個“函數”,．

(3) 函數是“函數”,且存在滿足條件的有序實數對和,

于是,．

x[1,2]時x[0,1],f(2x)[1,2],,

∴x[0,2]時,,

,

x[2,4]時,f(x)[4,16],

x[4,6]時,f(x)[16,64],

以此類推可知：x[2k,2k2]時,f(x)[22k,22k2]

x[2014,2016]時,f(x)[22014,22016],

因此時，

時，

綜上可知當時函數的值域為．