Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若=0，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，證明＞0時，＜

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求得的導數(shù)，討論，，，解不等式可得所求單調(diào)區(qū)間；
（2）分別求得的最大值，的最小值，比較即可得證.

（1）若，則，

（i）當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；

（ii）當時，，

①若，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.

②若，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上可知，

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）若則，，

要證不等式，即證，

記，則，

故當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以；

又，

故時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以時，

因為，所以，所以，

所以時，.