Question

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，，是以為底邊的等腰直角三角形．

（1）求證：；

（2）若為的垂心，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，即可得到答案；

（2）證明兩兩互相垂直，再以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)面的法向量，進(jìn)而求得二面角的余弦值.

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>是以為底邊的等腰直角三角形，

所以，

因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形，

所以，又，

所以平面，

所以.

（2）連結(jié)并延長交于，由（1）得，

所以，因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，

取的中點(diǎn)為，連結(jié)，則以兩兩互相垂直，

以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，

設(shè)為面的一個(gè)法向量，則

取，所以，

設(shè)為面的一個(gè)法向量，則

取，所以，

所以，

因?yàn)槎�面�?/span>為鈍二面角，

所以二面角的余弦值為.