Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，
（1）求證：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令a=b=0，則可得f（0）=0；再令a=x，b=-x，即可證明f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及減函數(shù)的定義即可證明．

解答： 證明：（1）由f（a+b）=f（a）+f（b），、
令a=b=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
再令a=x，b=-x，
得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，理由如下
設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及充分利用已知條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．