Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為 ， 在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，且

（1）若過三點(diǎn)的圓 恰好與直線相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍是。

試題分析：（1）由題意，得，所以 
又  由于，所以為的中點(diǎn)，
所以
所以的外接圓圓心為，半徑  3分
又過三點(diǎn)的圓與直線相切，
所以解得，
所求橢圓方程為   6分
（2）有（1）知,設(shè)的方程為：
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立
,整理得
設(shè)交點(diǎn)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010201412617.png" style="vertical-align:middle;" />
則  8分
若存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，所以
又 
又的方向向量是，故，則
，即
由已知條件知  11分
，故存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍 是  13分
點(diǎn)評：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過確定m的表達(dá)式，利用函數(shù)思想，通過求函數(shù)的最值，確定得到其范圍。