Question

【題目】函數(shù)且

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，。若存在滿足不等式且是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將代入，求其導(dǎo)函數(shù)，得的值，進(jìn)而可得切線方程。

（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知得到其是奇函數(shù)，求導(dǎo)可得在上的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，利用的單調(diào)性解該不等式，可求得的范圍，即的零點(diǎn)的范圍，轉(zhuǎn)化為在的范圍上有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)和零點(diǎn)存在性定理，可求出a的取值范圍。

解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

所以，

所以，

又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即

（2）令，因?yàn)?/span>，

所以，

所以為奇函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以在R上單調(diào)遞減，

又滿足不等式，即，

所以，

化簡(jiǎn)得，所以，即

令

因?yàn)?/span>是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)：

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

又，又因?yàn)?/span>，

所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需，解得，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為